MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [352]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O comprimento de onda Compton pode ser entendido como uma limitação fundamental na medida da posição de uma partícula, tomando-se as implicações da mecânica quântica e relatividade especial em conta. Isto depende da massa $m\$ da partícula.

Definições matemáticas[editar | editar código-fonte]

O comprimento de onda Compton $\lambda \$ de uma partícula é dado por

\lambda ={\frac {h}{mc}}=2\pi {\frac {\hbar }{mc}}\

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde

h\

é a constante de Planck,

m\

é a massa da partícula,

c\

é a velocidade da luz.

O valor CODATA de 2002 para o comprimento de onda Compton do elétron é 2.4263102175×10⁻¹² m com uma incerteza padrão de 0.0000000033×10⁻¹² m.^[1] Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Para ver-se isto, note-se que nós podemos medir a posição de uma partícula por incidir luz sobre ela - mas medir a posição precisamente requer luz de pequeno comprimento de onda. Luz de comprimento de onda pequeno consiste de fótons de alta energia. Se a energia destes fótons excede $mc^{2}\$ , quando um atinge a partícula onde cuja posição está sendo medida a colisão deve ter suficiente energia para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Disto resulta em tornar oculta a questão da localização original da partícula.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton é a ponto de interrupção abaixo do qual a teoria quântica de campos – a qual pode descrever a criação e aniquilação de partículas – torna-se importante.

Pode-se fazer o argumento acima um tanto mais preciso como segue-se. Suponhamos que deseja-se medir a posição de um partícula dentro de uma precisão $\Delta x\$ . Então a relação de incerteza para a posição e o momento diz que

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Usando a relação relativística entre momento e energia, quando $\Delta p$ excede $mc$ então a incerteza na energia é maior que $mc^{2}\$ , o que é suficiente energia paracriar outra partícula do mesmo tipo. Então, com um pouco de álgebra, nós vemos aqui uma limitação fundamental

$\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2mc}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Assim, pelo menos dentro de uma ordem de magnitude, a incerteza na posição deve ser maior do que o comprimento de onda de Compton $h/mc\$ .

O comprimento de onda de Compton pode ser comparado com o comprimento de onda de de Broglie, o qual depende do momento de uma partícula e determina o ponto de corte entre o comportamento de partícula e onda na mecânica quântica.

O caso dos férmions[editar | editar código-fonte]

Para férmions, o comprimento de onda de Compton determina a seção transversal de interações. Por exemplo, a seção transversal para a dispersão de Thonsom de um fóton de um elétron é igual a

$(8\pi /3)\alpha ^{2}\lambda _{e}^{2}$ , / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\alpha \$ é a constante de estrutura fina e $\lambda _{e}\$ é o comprimento de onda de Compton do elétron. Para bósons gauge, o comprimento de onda de Compton determina a escala da interação Yukawa: desde que o fóton não tenha massa de repouso, o eletromagnetismo tem escala infinita.

O comprimento de onda de Compton do eléctron é um dos do trio de unidades de comprimento relacionadas, as outras duas sendo raio de Bohr $a_{0}$ $a_0$ e o raio clássico do elétron $r_{e}$ $r_{e}$ . O comprimento de onda de Compton é obtido a partir da massa do elétron $m_{e}$ $m_{e}$ , constante de Planck $h$ $h$ e a velocidade da luz $c$ $c$ . O raio de Bohr é obtido de $m_{e}$ $m_{e}$ , $h$ $h$ e a carga do elétron $e$ $e$ . O raio clássico do elétron é obtido de $m_{e}$ $m_{e}$ , $c$ $c$ e $e$ $e$ . Qualquer um destes três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina $\alpha$ $\alpha$ :

r_{e}={\alpha \lambda _{e} \over 2\pi }=\alpha ^{2}a_{0}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A massa de Planck é especial porque ignorando fatores de $2\pi$ $2\pi$ e igualmente, o comprimento de onda de Compton para esta massa é igual a seu raio de Schwarzschild. Esta distância especial é chamada comprimento de Planck. Este é um simples caso de análise dimensional: o raio de Schwarzschild é proporcional à massa, onde o comprimento de onda de Compton é proporcional ao inverso da massa.

Fórmula da variação de Compton[editar | editar código-fonte]

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz^[3].

Luz como uma partícula;
Dinâmica Relativística;
Trigonometria.

O resultado final nos dá a equação do espalhamento de Compton:

\lambda -\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde:

\lambda _{0}

é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

\lambda

é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

{\frac {h}{m_{e}c}}

é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é $2,43\times 10^{-12}m$ .

Em mecânica estatística, a estatística de Fermi-Dirac é uma estatística quântica que descreve o comportamento de sistemas de partículas com spin semi-inteiro, os férmions. Leva o nome de dois eminentes físicos: Enrico Fermi e Paul Adrien Maurice Dirac cada um dos quais descobriu o método de forma independente (embora Fermi tenha definido as estatísticas antes de Dirac).^[1]^[2] Antes do estudo da estatística de Fermi-Dirac é necessário compreender algumas diferenças entre sistemas clássicos e quânticos. Sistemas clássicos são formados, a priori, por partículas distinguíveis, ou seja, é possível identificar e diferenciar tais partículas individualmente e nestes sistemas os efeitos quânticos são desprezíveis, sendo o sistema descrito pela estatística de Maxwell–Boltzmann. Já sistemas quânticos são formados por partículas indistinguíveis, devido à superposição de suas funções de onda, ou seja é impossível descrevê-las individualmente e neste sistema os efeitos quânticos devem ser considerados. Sistemas quânticos podem ser descritos pelas estatísticas de Fermi-Dirac ou de Bose-Einstein, dependendo do spin das partículas.^[3]^[4]

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

Como as partículas são indistinguíveis na estatística de Fermi-Dirac, a especificação do número de partículas é suficiente para determinarmos o estado do gás. Como os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, não é possível que mais de uma partícula esteja no mesmo estado, se faz apenas necessário somar sobre todos os números possíveis de partículas em um único estado, ou seja, os dois possíveis valores ^[5]:

n_{r}=0,1

para cada

r

Quando o número total de partículas $N$ $N$ é fixado, a soma sobre todos os valores possíveis de $n_{r}$ $n_{r}$ , com $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ segue a seguinte relação

\sum _{r}n_{r}=N

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Dado um sistema com $N$ $N$ férmions em equilíbrio térmico a uma temperatura arbitrária $T$ $T$ , o número médio de partículas $<n_{s}>$ $<n_{s}>$ em um estado particular $s$ $s$ com energia $\epsilon _{s}$ $\epsilon _{s}$ é obtido através da distribuição canônica, logo^[5]

<n_{s}>={\frac {\sum _{n_{s}}n_{s}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}{\sum _{n_{s}}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}}}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

no qual $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ , sendo $k_{B}$ $k_{B}$ a constante de Boltzmann. Podemos renomear alguns termos na expressão acima, de forma que obtemos

Z_{s}(N)=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)}

Somando sobre $n_{s}$ $n_{s}$ = 0 e 1, temos

<n_{s}>={\frac {e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}{Z_{s}(N)+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)}}

ou, ainda, podemos simplificar:

<n_{s}>={\frac {1}{[Z_{s}(N)/Z_{s}(N-1)]e^{\beta \epsilon _{s}}+1}}

Na condição em que $\Delta N\ll N$ $\Delta N\ll N$ , podemos escrever

lnZ_{s}(N-\Delta N)=lnZ_{s}(N)-{\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}\Delta N=lnZ_{s}(N)-\alpha _{s}\Delta N

Z_{s}(N-\Delta N)=Z_{s}(N)e^{-\alpha _{s}\Delta N}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com $\alpha _{s}={\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}$ $\alpha _{s}={\frac {\partial lnZ_{s}}{\partial N}}$ . Como $Z_{s}(N)$ $Z_{s}(N)$ é uma soma sobre muitos estados, a variação de seu logaritmo com o número de partículas total $N$ $N$ não é afetado por qual estado particular $s$ $s$ foi omitido no somatório. Portanto, podemos fazer uma aproximação em que $\alpha _{s}$ $\alpha _{s}$ é independente de $s$ $s$ :

\alpha _{s}=\alpha

Ainda, podemos aproximar $\alpha$ em termos da derivada da função partição $\mathrm {Z} (N)$ sobre todos os estados, assim^[5]:

\alpha ={\frac {\partial ln\mathrm {Z} }{\partial N}}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Se utilizarmos $\Delta N=1$ na aproximação, encontraremos a distribuição de Fermi-Dirac^[5]:

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{s}}+1}}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Ainda, o parâmetro $\alpha$ pode ser determinado pela primeira condição feita nesta dedução, em que

\sum _{r}<n_{r}>=N

\sum _{r}{\frac {1}{e^{\alpha +\beta \epsilon _{r}}+1}}=N

Da relação entre a função partição $Z$ $Z$ e a energia livre de Helmholtz $F$ $F$ , sabemos que $F=-k_{B}Tln\mathrm {Z}$ , logo:

\alpha =-{\frac {1}{k_{B}T}}{\frac {\partial F}{\partial N}}=-{\frac {\mu }{kT}}

/ ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

\alpha =-\beta \mu

onde $\mu$ é o potencial químico. Então outra forma de se definir a distribuição de Fermi-Dirac é^[5]:

<n_{s}>={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+1}}

Quando os níveis de energia são muito próximos, de modo que podemos considerar que formam um contínuo, o número médio de partículas com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ , pode ser escrito como^[5]

n(\epsilon )=g(\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon

Onde $g(\epsilon )$ $g(\epsilon )$ é a densidade de estados, de modo que $g(\epsilon )d\epsilon$ $g(\epsilon )d\epsilon$ fornece o número de estados com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ . E $F(\epsilon )$ $F(\epsilon )$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Para uma temperatura de 0 K, a função de Fermi é uma função de passo que vale 1 se $\epsilon <\mu$ e 0 se $\epsilon >\mu$ . Ou seja, todos os estados com energia $\epsilon <\mu$ estão ocupados, enquanto os estados com energia $\epsilon >\mu$ estão vazios. A energia do último nível ocupado em 0 K se denomina energia de Fermi ( $\epsilon _{F}$ ) e corresponde ao potencial químico do sistema. Também é usual associar uma temperatura a esta energia mediante $\epsilon _{F}=k_{B}T_{F}$ $\epsilon _{F}=k_{B}T_{F}$ , / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

sendo $T_{F}$ a temperatura de Fermi^[5].

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